Finite Mathematik Beispiele

$r = 4 \sin (θ)$ , $r = 4 \cos (θ)$

Schritt 1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$4 \sin (θ) = 4 \cos (θ)$

Schritt 2

Löse $4 \sin (θ) = 4 \cos (θ)$ nach $θ$ auf.

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Schritt 2.1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (θ)$ .

$\frac{4 \sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 2.2

Separiere Brüche.

$\frac{4}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 2.3

Wandle von $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ nach $\tan (θ)$ um.

$\frac{4}{1} \cdot \tan (θ) = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 \tan (θ) = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (θ)$ .

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Schritt 2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \tan (θ) = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 2.5.2

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 \tan (θ) = 4$

Schritt 2.6

Teile jeden Ausdruck in $4 \tan (θ) = 4$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \tan (θ) = 4$ durch $4$ .

$\frac{4 \tan (θ)}{4} = \frac{4}{4}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \tan (θ)}{4} = \frac{4}{4}$

Schritt 2.6.2.1.2

Dividiere $\tan (θ)$ durch $1$ .

$\tan (θ) = \frac{4}{4}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.3.1

Dividiere $4$ durch $4$ .

$\tan (θ) = 1$

Schritt 2.7

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$θ = \arctan (1)$

Schritt 2.8

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.8.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Schritt 2.9

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$θ = π + \frac{π}{4}$

Schritt 2.10

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 2.10.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 2.10.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.10.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 2.10.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 2.10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 2.10.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Schritt 2.11

Ermittele die Periode von $\tan (θ)$ .

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Schritt 2.11.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 2.11.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 2.11.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 2.11.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.12

Die Periode der Funktion $\tan (θ)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Berechne $r$ bei $θ = \frac{π}{4} + π n$ .

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Schritt 3.1

Ersetze $θ$ durch $\frac{π}{4} + π n$ .

$r = 4 \cos (\frac{π}{4} + π n)$

Schritt 3.2

Entferne die Klammern.

$r = 4 \cos (\frac{π}{4} + π n)$

Schritt 4

Berechne $r$ bei $θ = \frac{5 π}{4} + π n$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $θ$ durch $\frac{5 π}{4} + π n$ .

$r = 4 \cos (\frac{5 π}{4} + π n)$

Schritt 4.2

Entferne die Klammern.

$r = 4 \cos (\frac{5 π}{4} + π n)$

Schritt 5

Die Lösung des Gleichungssystems sind alle Werte, die das System erfüllen.

$r = 4 \cos (\frac{π}{4} + π n), θ = \frac{π}{4} + π n r = 4 \cos (\frac{5 π}{4} + π n), θ = \frac{5 π}{4} + π n$

Schritt 6

Liste alle Lösungen auf.

$r = 4 \cos (\frac{π}{4} + π n), θ = \frac{π}{4} + π n$

$r = 4 \cos (\frac{5 π}{4} + π n), θ = \frac{5 π}{4} + π n$